向量教学中两种思维的渗透

　　摘 要： 向量是高中数学引入之后极为重要的章节，其主要体现在思维灵活度的考查上成为近年考查的热点.向量教学最主要的是两种思维方式的渗透，即图形化和代数化. 
　　关键词： 向量 思维 图形化 代数化 
　　向量自引入高中数学之后，渐渐成为高中数学考查的热点和难点.向量以其独特不同于代数的运算方式，又介于代数和方向之间的特点，形成了连接两者的纽带.吴文俊先生说过：向量真是个好东西，我实在想不出除了向量之外，还有什么武器可以把泛函问题做得如此简洁. 
　　中学数学中的向量基本只涉及两维，除了向量基本概念、运算之外，还介绍了向量之间的加减合成及向量的数乘和数量积运算，这些向量知识构成了中学数学向量的主体.问题千万变，思想两主线.向量教学是笔者非常喜欢的章节教学，学生常常反映向量问题做不好、想不来，其实主要原因在于学生对于向量问题的方向把握还不明确，对于向量自由性的理解依旧不深刻，对于向量的运算也未达到应有的要求.以平面向量基本定理为例，作为唯一的分解，其实很多学生只理解在正交分解的前提下，正交分解是自由向量分解的一种特殊情形，所以学生对于很多自由化的向量问题无从下手，正是因为平面向量基本定理知识的缺失，此为图形化方式掌握得不扎实；以笛卡尔直角坐标系中的向量，可以使用向量的正交分解下的坐标运算来实现，但是学生又对具备一定运算量的代数化运算有所担忧，此为坐标化代数运算的缺失.笔者建议，向量教学试题要以精为主，具备一题两方向的教学，是两种思维方式渗透的有效手段，势必在思维导向上引导学生有方向地解决向量问题. 
　　问题1：已知 · =0，向量 满足（ - ）·（ - ）=0，| - |=5，| - |=3，则 · 的最大值为？摇 ？摇？摇？摇. 
　　图形化：设| |=a，| |=c，则有已知条件 · =0，（ - ）·（ - ）=0如左下图易得Rt△ABC和Rt△OAB中，∠AOB=∠ACB=90°且OACB四点共圆，圆的直径就是5，又由圆的性质可设∠AOC=∠ABC=θ，在Rt△ABC中cosθ= ，则在△OAC中由余弦定理及基本不等式得3 =|AC| =a +c -2accosθ≥2ac-2ac = ac，∴ac≤ = ，∴ · =a·c·cosθ≤ × =18. 
　　代数化：以C为坐标原点CA为y轴，CB为x轴建立直角平面坐标系，易得A（0，3），B（4，0）.设O（x，y），则 =（-x，3-y）， =（4-x，-y）， =（-x，-y）即y -3y=4x-x ，∵ · =-4x+x -3y+y =0，即y -3y=4x-x ，∴ · =x +y -3y=x +4x-x =4x.而O（x，y）横坐标x的取值范围为[- ， ]，所以4x∈[-2，18]，从而 · 的最大值为18.