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“尚未成功”的突破

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坦率说，在我个人的解题经历中，“尚未成功”乃至失败，实在是比激动人心的成功多得多．但是，“尚未成功”并非只给笔者留下消极的结果，而面对偶尔的顺利笔者也总是要继续寻找当中的“解题愚蠢”（见文［1］、［2］），我不知道这些说来见笑的个人体验是否对广大读者有点帮助，但我能肯定地说，这是我本来就少得可怜的解题财富中的主要资产，并且我的看法（包括本刊1998年开始的解题分析连载以及《数学解题学引论》一书）已引起了一部分同行的关注与共鸣，需要致歉的是，二三年来，关于解题与解题分析的大批读者来信我不能一一作复，今天的话题很大程度上是一种有意的弥补．下面，笔者要进行3个解题个案的分析，以展示如何由失败走向成功，又如何对浅层的成功进行深层的调控．
　　1．个案1—由失败中获取有用的信息
　　例1　若ａ、ｂ、ｃ为互不相等的实数，且ｘ／（ａ－ｂ）＝ｙ／（ｂ－ｃ）＝ｚ／（ｃ－ａ），求ｘ＋ｙ＋ｚ．
　　解：由等比定理得

ｘ／（ａ－ｂ）＝ｙ／（ｂ－ｃ）＝ｚ／（ｃ－ａ）
①
　　　　　　　＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）／［（ａ－ｂ）＋（ｂ－ｃ）＋（ｃ－ａ）］．
②
　　但是，②式的分母为零
（ａ－ｂ）＋（ｂ－ｃ）＋（ｃ－ａ）＝0，
③
　　我们的解题努力失败了．
　　评析：这是一个失败的解题案例，文［3］谈到了调整解题方向后的一些处理，其实都用到③式．所以，失败的过程恰好显化了题目的一个隐含条件，这是一个积极的收获，当我们将不成功的②式去掉，把目光同时注视①式与③式时，①式使我们看到了两条直线重合：
ｘＸ＋ｙＹ＋ｚ＝0，
④
（ａ－ｂ）Ｘ＋（ｂ－ｃ）Ｙ＋（ｃ－ａ）＝0．
⑤
　　而③式又使我们看到了直线⑤通过点
Ｘ＝1，
Ｙ＝1．
　作一步推理，直线④也通过点（1，1），于是
ｘ＋ｙ＋ｚ＝0．
　　与文［3］相比，这是一个不无新意的解法，其诞生有赖于两点：
　　第1，从失败的解题中获取一条有用的信息，即③式．
　　第2，对①式、③式都作“着眼点的转移”，从解析几何的角度去看它们．
　　有了这两步，剩下来的工作充其量在30秒以内就可以完成．
　　2．个案2—尚未成功不等于失败
　　设ｆ（ｎ）为关于ｎ的正项递增数列，Ｍ为大于ｆ（1）的正常数，当用数学归纳法来证不等式
ｆ（ｎ）＜Ｍ（ｎ∈Ｎ）
①
时，其第2步会出现这样的情况：假设ｆ（ｋ）＜Ｍ，则
ｆ（ｋ＋1）＝ｆ（ｋ）＋ａ（ａ＝ｆ（ｋ＋1）－ｆ（ｋ）＞0）＜Ｍ＋ａ，
②
无法推出ｆ（ｋ＋1）＜Ｍ．
　　据此，许多人建议，用加强命题的办法来处理，还有人得出这样的命题（见文［4］Ｐ．32及文［5］Ｐ．12）：
　　命题　设｛ｆ（ｎ）｝为关于ｎ的正项递增数列，Ｍ为正常数，则不等式ｆ（ｎ）＜Ｍ（ｎ∈Ｎ）不能直接用数学归纳法证明．
　　评析：不等式①没能用递推式②证出来，有两种可能，其一是数学归纳法的功力不足，其二是数学归纳法的使用不当．把“不会用”当作“不能用”，其损失是无法弥补的．
　　我们分析上述处理的“尚未成功”，关键在于递推式②，这促使我们思考：ｆ（ｋ＋1）与ｆ（ｋ）之间难道只有一种递推关系吗？
　　确实，有的函数式其ｆ（ｋ＋1）与ｆ（ｋ）之间的关系很复杂，无法用数学归纳法来直接证明；而有的关系则较简单，仅用加减乘除就可以表达出来．但无论是“很复杂”还是“较简单”，其表达式都未必惟一，文［6］Ｐ．278给出过一个反例，说明上述“命题”不真：
　　例2　用数学归纳法证明
ｆ（ｎ）＝1＋（1／2）＋（1／22）＋…＋（1／2ｎ－1）＜2．
　　讲解：当ｎ＝1时，命题显然成立．
　　现假设ｆ（ｋ）＜2，则
　　ｆ（ｋ＋1）＝ｆ（ｋ）＋（1／2ｋ）＜2＋（1／2ｋ），
由于2＋（1／2ｋ）恒大于2，所以数学归纳法证题尚未成功．
　　然而，这仅是“方法使用不当”．换一种递推方式，证明并不困难．
　　ｆ（ｋ＋1）＝1＋（1／2）ｆ（ｋ）＜1＋（1／2）×2＝2．
　　下面一个反例直接取自文［4］的例2．
　　例3　求证（1／1！）＋（1／2！）＋（1／3！）＋…＋（1／ｎ！）＜2．
　　证明：当ｎ＝1时，命题显然成立．
　　假设ｎ＝ｋ时命题成立，则
　　（1／1！）＋（1／2！）＋…＋（1／ｋ！）＋［1／（ｋ＋1）！］
　＝1＋（1／2）＋（1／3）·（1／2！）＋…＋（1／ｋ）·［1／（ｋ－1）！］＋［1／（ｋ＋1）］·（1／ｋ！）＜1＋（1／2）｛1＋（1／2！）＋…＋［1／（ｋ－1）！］＋（1／ｋ！）｝＜1＋（1／2）×2＝2．
　　这表明ｎ＝ｋ＋1时命题成立．
　　由数学归纳法知，不等式已获证．
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