“尚未成功”的突破
3．个案3—对尚未成功的环节继续反思
文［7］有很好的立意也有很好的标题，叫做“反思通解·引出简解·创造巧解”，它赞成反思“失败”并显示了下面一道二次函数题目的调控过程：
例4 二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点（－1，0），是否存在常数ａ、ｂ、ｃ使不等式
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ｘ≤ｆ（ｘ）≤（ｘ2＋1）／2
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①
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对一切实数ｘ都成立？若存在，求出ａ、ｂ、ｃ；若不存在，说明理由．
讲解：作者从解两个二次不等式
讲解：作者从解两个二次不等式
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（ｘ2＋1）／2－ｆ（ｘ）≥0，
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ｆ（ｘ）－ｘ≥0．
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开始（解法1），经过数形结合的思考（解法2）等过程，最后“经学生相互讨论后得到巧解”（解法4）：由基本不等式
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（ｘ2＋1）／2≥（ｘ＋1）／22≥ｘ
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②
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对一切实数ｘ都成立，猜想
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ｆ（ｘ）＝（ｘ＋1）／22．
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③
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经检验，ｆ（ｘ）满足条件ｆ（－1）＝0，所以ｆ（ｘ）存在，ａ＝（1／4），ｂ＝（1／2），ｃ＝（1／4）．
我们不知道命题人的原始意图是否只考虑“存在性”，按惯例，“若存在，求出ａ、ｂ、ｃ”应该理解为“若存在，求出一切ａ、ｂ、ｃ”．从这一意义上来看上述巧解，那就存在一个明显的逻辑疑点：诚然，③式是满足①的一个解，但是在ｘ与（ｘ2＋1）／2之间的二次函数很多，如
ｆ1（ｘ）＝（1／2）ｘ＋（1／2）（ｘ2＋1）／2，
ｆ2（ｘ）＝（1／3）ｘ＋（2／3）（ｘ2＋1）／2，
ｆ3（ｘ）＝（1／4）ｘ＋（3／4）（ｘ2＋1）／2，
……
这当中有的经过点（－1，0），有的不经过点（－1，0），巧解已经验证了ｆ1（ｘ）经过点（－1，0）从而为所求，我们的疑问是：怎见得其余的无穷个二次函数就都不过点（－1，0）呢？
也就是说，“巧解”解决了“充分性”而未解决“必要性”，解决了“存在性”而未解决“惟一性”．究其原因，是未找出ｘ与（ｘ2＋1／2）之间的所有的二次函数．抓住这一尚未成功的环节继续思考，我们想到定比分点公式，①式可以改写为
我们不知道命题人的原始意图是否只考虑“存在性”，按惯例，“若存在，求出ａ、ｂ、ｃ”应该理解为“若存在，求出一切ａ、ｂ、ｃ”．从这一意义上来看上述巧解，那就存在一个明显的逻辑疑点：诚然，③式是满足①的一个解，但是在ｘ与（ｘ2＋1）／2之间的二次函数很多，如
ｆ1（ｘ）＝（1／2）ｘ＋（1／2）（ｘ2＋1）／2，
ｆ2（ｘ）＝（1／3）ｘ＋（2／3）（ｘ2＋1）／2，
ｆ3（ｘ）＝（1／4）ｘ＋（3／4）（ｘ2＋1）／2，
……
这当中有的经过点（－1，0），有的不经过点（－1，0），巧解已经验证了ｆ1（ｘ）经过点（－1，0）从而为所求，我们的疑问是：怎见得其余的无穷个二次函数就都不过点（－1，0）呢？
也就是说，“巧解”解决了“充分性”而未解决“必要性”，解决了“存在性”而未解决“惟一性”．究其原因，是未找出ｘ与（ｘ2＋1／2）之间的所有的二次函数．抓住这一尚未成功的环节继续思考，我们想到定比分点公式，①式可以改写为
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ｆ（ｘ）＝｛［（ｘ2＋1）／2］＋λｘ｝／（1＋λ）（λ＞0），
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④
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或 ｆ（ｘ）＝λ（ｘ2＋1）／2＋（1－λ）ｘ（0＜λ＜1）． ⑤
一般情况下λ应是ｘ的正值函数（文［8］默认λ为常数是不完善的；同样，2000年高考理科第20题（2），对ｃｎ＝ａｎ＋ｂｎ设
一般情况下λ应是ｘ的正值函数（文［8］默认λ为常数是不完善的；同样，2000年高考理科第20题（2），对ｃｎ＝ａｎ＋ｂｎ设
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ａｎ＝ｃｎｃｏｓ2θ，
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ｂｎ＝ｃｎｓｉｎ2θ
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是错误的），但由于ｆ（ｘ）为二次函数，λ只能为常数．为了在④中求出λ，把ｆ（－1）＝0代入④即可求出λ＝1（或⑤中λ＝1／2）．
②式与④式的不同，反映了特殊与一般之间的区别，反映了“验证”与“论证”之间的区别．其实，原［解法1］出来之后，立即就可以得出②式，与是否应用“基本不等式”无关．同样，原［解法1］中作者思考过的“推理是否严密”在“巧解”中依然是个问题．这种种情况说明，我们不仅要对解题活动进行反思，而且要对“反思”进行再反思．下面一个解法请读者思考错在哪里？
解：已知条件等价于存在ｋ＜0，使
［ｆ（ｘ）－ｘ］［ｆ（ｘ）－（ｘ2＋1）／2］＝ｋ≤0，
把ｘ＝－1时，ｆ（ｘ）＝0代入得 ｋ＝－1，
从而 ［ｆ（ｘ）－ｘ］［ｆ（ｘ）－（ｘ2＋1）／2］＝－1，
即 ｆ2（ｘ）－［（ｘ＋1）2／2］ｆ（ｘ）＋（ｘ3＋ｘ＋2）／2＝0．
由此解出的ｆ（ｘ）为无理函数，不是二次函数，所以本题无解．
作为对反思进行再反思的又一新例证，我们指出文［9］例2（即1997年高考难题）第1问，可以取λ＝ａ（ｘ2－ｘ）∈（0，1）（λ是ｘ的函数），则
ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ1－ｘ）（ｘ2－ｘ）＋ｘ
＝λｘ1＋（1－λ）ｘ，
据定比分点的性质有ｘ＜ｆ（ｘ）＜ｘ1．
②式与④式的不同，反映了特殊与一般之间的区别，反映了“验证”与“论证”之间的区别．其实，原［解法1］出来之后，立即就可以得出②式，与是否应用“基本不等式”无关．同样，原［解法1］中作者思考过的“推理是否严密”在“巧解”中依然是个问题．这种种情况说明，我们不仅要对解题活动进行反思，而且要对“反思”进行再反思．下面一个解法请读者思考错在哪里？
解：已知条件等价于存在ｋ＜0，使
［ｆ（ｘ）－ｘ］［ｆ（ｘ）－（ｘ2＋1）／2］＝ｋ≤0，
把ｘ＝－1时，ｆ（ｘ）＝0代入得 ｋ＝－1，
从而 ［ｆ（ｘ）－ｘ］［ｆ（ｘ）－（ｘ2＋1）／2］＝－1，
即 ｆ2（ｘ）－［（ｘ＋1）2／2］ｆ（ｘ）＋（ｘ3＋ｘ＋2）／2＝0．
由此解出的ｆ（ｘ）为无理函数，不是二次函数，所以本题无解．
作为对反思进行再反思的又一新例证，我们指出文［9］例2（即1997年高考难题）第1问，可以取λ＝ａ（ｘ2－ｘ）∈（0，1）（λ是ｘ的函数），则
ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ1－ｘ）（ｘ2－ｘ）＋ｘ
＝λｘ1＋（1－λ）ｘ，
据定比分点的性质有ｘ＜ｆ（ｘ）＜ｘ1．
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参 考 文 献
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1 罗增儒．解题分析—解题教学还缺少什么环节？中学数学教学参考，1998，1～2
2 罗增儒．解题分析—再谈自己的解题愚蠢．中学数学教学参考，1998，4
3 罗增儒．解题分析—人人都能做解法的改进．中学数学教学参考，1998．7
4 李宗奇．调控函数及其应用．中学数学杂志（高中），2000，3
5 王俊英．一类数学归纳法能否使用问题的判定．中学数学，1987，9
6 罗增儒．数学解题学引论．西安：陕西师范大学出版社，1997，6
7 曹 军．反思通解·引出简解·创造巧解．中学数学，2000，6
8 陈雪芬．刘新春．定比分点公式在代数中的应用．数学教学通讯，2000，6
9 罗增儒．解题分析——分析解题过程的两个步骤．中学数学教学参考，1998，5
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