线性规划在管理中的应用

　　摘 要：本文从线性规划的概念、构成要素出发，给出了线性规划模型。并给出了用单纯型法来求解线性规划模型的求解原理。然后通过几个具体例子，如合理下料问题、运输问题、投资问题，建立了数学规划模型，并给出了如何对生活中有限资源进行合理分配，对选择方案进行最优决策。
　　关键词：线性规划 模型 决策 应用
　　线性规划是运筹学中一种最常用的方法，线性规划在现代管理中起到了重要的作用，线性规划所处理的问题是怎样以最佳的方式在各项经济活动中分配有限的资源，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。线性规划在财务贸易、金融、工业制造、农业生产、交通运输、人事管理、设备维修等领域的管理决策分析中均可帮助人们解决实际问题。例如在原料分配问题上，研究如何确定各原料比例，才能降低生产成本，增加利润；在农作物规划中，如何安排各种农作物的布局，使生产率迅速提高；在生产计划安排中，选择什么样的生产方案才能提高生产产值。线性规划为求解这类问题提供了实用性强的理论基础和具体求解方法。
　　一、线性规划数学模型
　　经营管理中研究如何有效地利用现有的人力物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力物力去实现，这个统筹规划的问题用可用数学语言表达。
　　线性规划模型从数学角度来归纳为三点：
　　（1）每个问题都有一组变量，称为决策变量，一般记为，一般要求。它是决策者对决策问题需要加以考虑和控制的因素。
　　（2）每个问题都有决策变量需要满足一定的条件，问题的限制条件用不等式或等式来表达，它是实现企业决策目标，限制性因素对实现目标起约束作用，称为约束条件。
　　（3）问题的目标通过变量的函数形式来表达，称为目标函数，且目标值与决策变量之间的关系是线性关系，要求在约束条件下，求目标函数的最大值或最小值。
　　（4）一般的线性规划数学模型为：
　　线性规划标准形式特点：
　　（1）目标函数求最大值（有时求最小值）
　　（2）约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零
　　（3）决策变量xj为非负。
　　线性规划问题的方法是单纯形法。理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间中的多面凸集，最优值如果存在必在凸集的某顶点处达到，顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯型法的求解思路是：一般线性规划问题具有线性方程组的变量个数大于方程数目，此时存在多解，但可从线性方程组中找出一个个的单纯型，每个单纯型都对应一组基本可行解，根据此解判断目标值是增大还是减小，决定下一步选择的单纯型，这就是迭代，直到实现了目标最大化或最小化为止。
　　但是，通过比较基可行解（顶点）来求解一般线性规划问题是不可行的，单纯形法的基本思路是有选择地取基可行解，即从可行域的一个顶点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的顶点，要求新顶点的目标函数值不比原目标函数值差。如此继续，直到无法改进，即可得到最优解，或判定无最优解。
　　二、线性规划的具体应用
　　线性最优化模型已被广泛应用于各类部门，应用的范围涉及各种资源分配、生产规划调度、企业财政规划、库存和分配、商品推销和广告等领域。
　　1.线性规划的在投资组合中的应用
　　如何选择一个满意的投资组合，在既定条件下实现一个最有效的风险与收益搭配，是投资组合的关键问题，投资者可以利用各投资项目收益率结合现实的情况对未来一年内各种投资产品的收益率做个简单的预测，利用单纯形法或借助lindo软件进行求解，从而获得投资于各项目的最佳投资额。
　　例如：某先生在5年内考虑下列投资，已知：
　　A.可从第1年年初开始投资，并于次年年末收回投资额的115%；
　　B.在第3年的年初投资，到第5年年末收回投资额的135%，但投资额不能大于4万元；
　　C.在第2年年初投资，到第5年年末收回投资额的145%，但投资额不能超过3万元；
　　D.每年年初购买债券，年底归还，利息为0.06.
　　2.线性规划在运输问题中的应用
　　运输问题涉及空运、水运、公路运输、铁路运输、管道运输、场内运输等，公路运输除了汽车调度计划外，还有行使路线选择和时刻表的安排等等问题，这些问题都可以运用线性规划模型来解决。“运输问题”就是将数量和单位运价都是给定的某种物资从供应站运送到消费站或库存站，在满足供销平衡的同时，定出流量与流向，达到总运输成本最小。
　　例：某汽车零件制造商，在不同的地方开设了3个工厂，从这些工厂将汽车零件运至设在全国各地的4个仓库，并希望运费最小，下表列出了运价以及3个工厂供应量和4个仓库的需求量，请求出运费最小的运输方案。
　　（2）根据位势法或闭回路法来判断该方案是否是最优，如果不是，就对该方案用闭回路方法进行调整和改进直至求出最优方案。经过计算，最后当所有的检验数均为非负时可得最优方案，当前的最优方案为其余全为零，可得最小运输值为。
　　3.线性规划在分配任务上的应用
　　例：（指派问题）有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作：E、J、G、R，现在有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书翻译成不同的语种的说明书所需时间如表所示，问应指派何人去完成何工作，使所需总时间最少？
　　4.线性规划模型在生产计划问题上的应用
　　线性规划可以运用在生产计划的问题上，对于生产性企业而言，生产计划是企业经济效益的关键因素，科学合理的生产计划能够使整体的经济效益发挥到最佳水平，使用线性规划方法要充分利用现有资源，考虑到企业的生产能力，资源的拥有量以及生产产品的单件利润等因素来进行计划安排生产，以谋求最大的利润或最小的成本。
　　例如（饲料配比问题）某配合饲料厂生产以鸡饲料为主的配合饲料，现准备研制一种新的肉用仔鸡专用饲料，所用原料的营养成分和饲养标准见表，希望这种新饲料既能满足肉用仔鸡的喂养需要又使总成本尽可能低，应如何设计配比方案？建立线性规划模型。
　　三、总结
　　线性规划是企业生产过程中决策制定的理论依据，决策的合理与否直接影响到企业的经济效益，本文通过实际例子阐述了线性规划模型在生产计划，运输问题，任务分配问题，投资问题等问题的实际应用，体现了线性规划模型在实际生产和生活中的重要性，总之，线性规划法是一种比较先进和科学的进行经济管理的方法，利用线性规划解决实际问题具有较大的实用价值。
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